средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.
1) Средним для данной группы чисел
x1, x2,..... xn называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются:
Арифметическое среднее
,
,
,
.
Если все числа xi (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого α ≠ 0 определить степенное С.
частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s (а равняется a, h и q соответственно при α = 1, -1 и 2. При α → 0 степенное С, sα стремится к геометрическому С., так что можно считать s0 = g. Важную роль играет неравенство sα ≤ sβ, если α ≤ β, в частности
h ≤ g ≤ a ≤ q.
Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы
,
где
f-1(η) - функция, обратная к
f (ξ) (см.
Обратная функция), при соответствующем подборе функции
f (ξ). Так, арифметическое С. получается, если
f(ξ)
= ξ, геометрическое С. - если
f (ξ) = log ξ, гармоническое С. - если
f (ξ) = 1/ξ, квадратичное С. - если
f (ξ)
= ξ
2.
Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С.
в частности при α = 1,
,
которые переходят в обыкновенные степенные С. при
р1 = р2 =... = pn. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см.
Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).
2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел
а и
b составляются арифметическое С.
a1 и геометрическое С.
g1. Затем для пары
a1,
g1 снова находятся арифметическое С.
a2 и геометрическое С.
g2 и т.д. Общий предел последовательностей
an и
gb, существование которого было доказано К.
Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел
а и
b; он важен в теории эллиптических функций.
3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд "теорем о среднем", устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f (x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f (b) - f (a) = (b-a) f'(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если f (x) непрерывна на отрезке [а, b], а φ(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что
.
В частности, если φ(x) = 1, то
.
Вследствие этого под средним значением функции f (x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину
.
Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.